Dimostrazione alternativa II teorema di Euclide

Dato un triangolo rettangolo ABC, si consideri l’altezza CH. Quindi sull’ipotenusa AB si costruisca (come in fig. 1) il rettangolo AFLB – i cui lati AF e BL sono uguali alla proiezione del cateto AC su AB – e si prolunghino i segmenti FL e CB, fino a farli incontrare nel punto D. Dato che i triangoli rettangoli BLD e AHC sono uguali, poiché in essi sono uguali i lati BL ed AH e gli angoli DBL e CAH entrambi complementari all’angolo ABC, i due cateti CH e LD e le ipotenuse AC e BD sono uguali.

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Riprendendo la costruzione illustrata in fig. 1, prolunghiamo CH fino a incontrare FD in un punto P: avremo una scomposizione del triangolo CPD in due triangoli, CHB e BLD, e nel rettangolo HBLP (si veda fig. 2).

imageFig. 2 imageFig. 3

Considerando ora il rettangolo CPDQ, in cui CP e PD sono due lati consecutivi mentre CD è una delle diagonali, otteniamo che i triangoli CPD e CQD sono uguali.

Prolunghiamo quindi il lato HB fino a incontrare il lato QD nel punto S; inoltre prolunghiamo il lato LB fino a incontrare il lato CQ nel punto R. Il triangolo CQD risulta scomposto in due triangoli, CRB e BSD, e nel quadrilatero RQSB (si veda fig. 3). Poiché per costruzione i segmenti CR e HB sono paralleli e lo stesso si può dire anche per i segmenti CH ed RB, e poiché l’angolo CHB è retto, allora il quadrilatero CRBH è un rettangolo, che risulta scomposto, mediante la diagonale CB, nei due triangoli uguali CRB e BHC. Con analoghe argomentazioni applicate al quadrilatero BSDL si arriva a dimostrare che sono uguali anche i triangoli BSD e DLB. Inoltre, per come i suoi lati sono stati costruiti, il quadrilatero RQSB è un rettangolo in cui RB è uguale a CH (che è l’altezza del nostro triangolo ABC) e BS è uguale LD. Ma visto che CH è uguale a LD si ha che RB è uguale a BS; da cui il rettangolo RQSB, avendo due lati consecutivi uguali, è un quadrato; e in particolare è uguale al quadrato costruito sull’altezza CH.

Quindi i quadrilateri RQSB e HBLP sono equivalenti per differenza di aree equivalenti e perciò anche il quadrato costruito su CH è equivalente al rettangolo HBLP. Sapendo che HBLP ha come misure le proiezioni dei cateti del triangolo ABC, abbiamo dimostrato il II teorema di Euclide.

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